On effectue de la sorte p tirages. Déterminer la loi de X et E(X).

On tire simultanément k boules de cette urne (k ∈ [[1;n… En déduire une expression de 7 3 1 k 2 k = ⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ∑ − sous forme d’un unique coefficient binomial. Exercice n°8 : Une urne contient deux boules rouges numérotées 1, 2 et deux boules jaunes numérotées 3, 4. Soit k un entier naturel tel que 0 dkN. Si k est Øgal à 1, on arrŒte les tirages.

c ) =ENT(3*ALEA())+1 2 ) On considère une urne contenant 7 boules rouges et 13 boules vertes.

(Si la poignée est vide, i.e. Dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, on tire deux boules au hasard avec remise.

On considŁre une urne U n contenant n boules numØrotØes de 1 à n. On tire une boule au hasard dans U n. On note k le numØro de cette boule.

X et Y respectivement égales au plus petit et au plus grand numéro tiré. B : « Obtenir un résultat inférieur ou égal à 6 » est l’évènement certain. Exemple On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6. Posté par . le nombre de jetons de la poignée et S la somme (aussi aléatoire!!) 2. si N = 0, on convient que S prend la valeur 0). Si k est supØrieur ou Øgal à 2, on enlŁve de l™urne U n les boules numØrotØes de k à n (il reste donc les boules numØrotØes de 1 à k 1), et on e⁄ectue à nouveau un tirage dans l™urne. 1°) Déterminer la loi du couple (X,Y). 1) On effectue n tirages sans remise.

Combien de tirages donnent x boules noires (x=

1… Calculer la probabilité pour que tous les numéros tirés soient inférieurs ou égaux à k 2. 1. 1. 1.1 Situations de référence Une urne U contient n boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à n. • Tirages successifs avec remise : On tire une boule de l’urne, on note son numéro, puis on la remet dans l’urne. X est le rang de sortie de la première boule blanche et Y le nombre de boules rouges restant dans l’urne à ce moment. k urnes numérotées de 1 à k contiennent chacune n boules identiques numérotées de 1 à n. On extrait une boule de chaque urne, on note Xi le numéro de la boule tirée de l'urne n°i.

On tire avec remise r boules dans cette urne. Soit n un entier naturel strictement positif.

Calculer la probabilité que le plus grand des numéros tirés soit égal à k 3. Une urne contient 100 boules numérotées de 1 à 100. Exercice 2 (Une urne magique) On considère une urne contenant n boules numérotés de 1 à n. Cette urne est magique, pour tout entier k compris entre 1 et n, la probabilité de tirer la boule numéro k est proportionnelle à k. On note X la variable aléatoire donnant le numéro de la boule tirée. 2°) En déduire la loi de X et la loi de Y. Est-ce que l'ordre compte ? Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. 1. 1°) Déterminer la loi du couple (X,Y). 1.On considère l'événement : E r:"Le numéro de la boule tirée au rième tirage est inférieur ou égal à tous les précédents." On considère d’une part deux urnes A et B, et d’autre part N boules, numérotées de 1 à N, réparties les unes dans l’urne A, les autres dans l’urne B. Expérience d’Ehrenfest :Expérience consistant à tirer au hasard un numéro I compris entre 1 et N et de transférer la boule numéro I dans l’urne où elle n’était pas. On considère une urne contenant trois boules identiques numérotées 1, 2 et 3.

On a n+1 boules dans une urne (numérotées de 0 à n) -On tire une boule au hasard dans l'urne -si la boule numérotée p est tirée au k-ième tirage, alors on retire les boules ayant un numéro strict supérieur à p, et le tirage suivant se fait dans l'urne modifiée. On définit les v.a.

Exercice15.2 4 Une urne contient 2 boules blanches et n ¡2 boules rouges. Trois tirages successifs avec remise sont effectués et l'on appelle a, b et c les trois numéros ainsi obtenus ; tous les tirages sont équiprobables. .On considère une urne contenant boules numérotées de 1 à N.On tire simultanément n de ces boules.

En utilisant un tableur , expliquer comment simuler un échantillon de 10 tirages d'une boule rouge dans cette urne. On prélève une boule au hasard. et V (X) ˘np(1¡p) ˘ 5n 62. On tire k boules de cette urne (k ∈ [[1;n]]).

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